Question

【題目】已知橢圓的焦距為2，左、右頂點(diǎn)分別為，是橢圓上一點(diǎn)，記直線的斜率為，且有.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且線段的垂直平分線在軸上的截距為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）依題意，，，設(shè)，則有，根據(jù)，即可求解的值，得到橢圓的方程；（2）將直線代入橢圓的方程，設(shè)，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)公式，以及兩條直線垂直的條件；斜率之積為，化簡(jiǎn)整理，解方程求得，進(jìn)而得到所求直線的方程．

試題解析：（1）依題意，，，

設(shè)，則有，即，

，，

，，

即橢圓的方程為；

（2）設(shè)，的中點(diǎn)為，

聯(lián)立得到，

①

，，， ②

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，，，

，，

化簡(jiǎn)得 ③

將②式代入得到代入①式得到，

由于線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，

將②代入得到 ④

聯(lián)立③④得或1，因?yàn)?/span>，所以，.

所以直線的方程為.