Question

(20) (本題滿分14分) 已知正四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2 的正方形，高為．M為線段PC的中點．

(Ⅰ) 求證：PA∥平面MDB；
(Ⅱ) N為AP的中點，求CN與平面MBD所成角的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)2.

試題分析：(Ⅰ)證明：在四棱錐P－ABCD中，連結AC交BD于點O，連結OM，因為在△PAC中，M為PC的中點，O為AC的中點，所以OM為△PAC的中位線，得OM∥AP，又因為AP平面MDB，OM平面MDB，所以PA∥平面MDB． …………6分

(Ⅱ) 解：連結PO．由條件可得PO＝，AC＝2，
PA＝PC＝2，CO＝AO＝．
設NC∩MO＝E，由題意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°．
因為M為PC的中點，所以PC⊥BM，
同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD．
所以直線CN在平面BMD內的射影為直線OM，
∠MEC為直線CN與平面BMD所成的角，
又因為OM∥PA，所以∠PNC＝∠MEC．
在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝，
故直線 CN與平面BMD所成角的正切值為2．        …………14分
利用體積法相應給分
點評：熟練掌握線面平行的判定定理和性質定理以及線面角等知識點是解題的關鍵．利用三角形的中位線定理是證明線線平行常用的方法之一．