Question

【題目】設(shè)橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)D在橢圓C上， 的周長為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過圓上任意一點(diǎn)P作圓E的切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

(1) 由，周長,解得,即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)通過特殊情況的斜率不存在時(shí),求得,再證明的斜率存在時(shí),即可證得為定值.通過設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理求得,利用直線與圓相切,即,求得的關(guān)系代入,化簡即可證得即可證得結(jié)論.

（1）由題意得，周長，且.

聯(lián)立解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)其方程為，

則，

所以，即.

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，并設(shè)，

由，

，，

由直線l與圓E相切，得.

所以

.

從而，即.

綜合上述，得為定值.