Question

某市四所中學(xué)報(bào)名參加某高校今年自主招生的學(xué)生人數(shù)如下表所示：

中學(xué)
人數(shù)

為了了解參加考試的學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報(bào)名參加考試的四所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取50名參加問(wèn)卷調(diào)查.
（1）問(wèn)四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生？
（2）從參加問(wèn)卷調(diào)查的名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生自同一所中學(xué)的概率；
（3）在參加問(wèn)卷調(diào)查的名學(xué)生中，從自兩所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取兩名學(xué)
生，用表示抽得中學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和期望.

Answer 1

（1） 從四所中學(xué)抽取的學(xué)生人數(shù)分別為；（2） 這兩名學(xué)生自同一所中學(xué)的概率為，（3）的分布列為：

		1

 
.

解析試題分析：（1） 由題意知，四所中學(xué)報(bào)名參加該高校今年自主招生的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100名，抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值為．據(jù)此即可計(jì)算出答案；（2） 利用組合的意義分別計(jì)算出從參加問(wèn)卷調(diào)查的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的方法和這兩名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué)的取法，再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出；（3）由（1） 知，在參加問(wèn)卷調(diào)查的50名學(xué)生中，來(lái)自A，C兩所中學(xué)的學(xué)生人數(shù)分別為15，10．可得ξ的可能取值為0，1，2．利用超幾何分布的概率計(jì)算公式，即可得到分布列，利用數(shù)學(xué)期望的概率計(jì)算公式即可得出．
試題解析：（1） 由題意知，四所中學(xué)報(bào)名參加該高校今年自主招生的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100名，
抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值為.
∴應(yīng)從四所中學(xué)抽取的學(xué)生人數(shù)分別為.       4分
（2） （2） 設(shè)“從參加問(wèn)卷調(diào)查的名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生自同一所中學(xué)”為事件，從參加問(wèn)卷調(diào)查的名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的取法有種，這兩名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué)的取法有，所以．從參加問(wèn)卷調(diào)查的名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生自同一所中學(xué)的概率；     ７分
（3）由（1）知，在參加問(wèn)卷調(diào)查的名學(xué)生中，自兩所中學(xué)的學(xué)生人數(shù)分別
為.
依題意得，的可能取值為，                                8分
， ，.    11分
∴的分布列為：

		1

     12分
考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列；等可能事件的概率．