Question

【題目】一種計算裝置，有一數據入口A和一個運算出口B，按照某種運算程序：①當從A口輸入自然數1時，從B口得到 ，記為 ；②當從A口輸入自然數n（n≥2）時，在B口得到的結果f（n）是前一個結果f（n﹣1）的 倍． （Ⅰ）當從A口分別輸入自然數2，3，4時，從B口分別得到什么數？
（Ⅱ）根據（Ⅰ）試猜想f（n）的關系式，并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得f（n）= f（n﹣1），（n≥2，n∈N*） 當n=2時， ，
同理可得
（Ⅱ）猜想
下面用數學歸納法證明（*）成立
② 當n=1，2，3，4時，由上面的計算結果知（*）成立
②假設n=k（k≥4，k∈N*）時，（*）成立，即 ，
那么當n=k+1時，
即 ∴當n=k+1時，（*）也成立
綜合①②所述，對n∈N* ， 成立
【解析】（Ⅰ）由f（n）= f（n﹣1），（n≥2，n∈N*）， 可求得f（2），f（3），f（4）的值，（Ⅱ）從而可猜想f（n）關系式．按照數學歸納法的證題步驟：先證明n=1時命題成立，再假設當n=k時結論成立，去證明當n=k+1時，結論也成立，從而得出命題對任意的n≥2恒成立．
【考點精析】本題主要考查了數列的通項公式和數學歸納法的定義的相關知識點，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法才能正確解答此題．