Question

【題目】如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線EG，E1G1的長分別為14cm和62cm. 分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm. 現有一根玻璃棒l，其長度為40cm.（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計）

（1）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點A處，另一端置于側棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；

（2）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點E處，另一端置于側棱GG1上，求l沒入水中部分的長度.

Answer 1

【答案】（1）記玻璃棒與交點為H，則，，沒入水中的部分為(cm).

（2），，

記玻璃棒與交點為Q，則

，∴，∴，，

∴，

沒入水中的部分為(cm)

【解析】

解:（1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，.

記玻璃棒的另一端落在上點處.

因為，

所以，從而 ，

記與水面的焦點為,過作P1Q1⊥AC, Q1為垂足，

則 P1Q1⊥平面 ABCD，故P1Q1=12，

從而 AP1= .

答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm.

( 如果將“沒入水中部分冶理解為“水面以上部分冶，則結果為24cm)

（2）如圖，O，O1是正棱臺的兩底面中心.

由正棱臺的定義，OO1⊥平面 EFGH， 所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.

同理，平面 E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.

記玻璃棒的另一端落在GG1上點N處.

過G作GK⊥E1G，K為垂足， 則GK =OO1=32.

因為EG = 14，E1G1= 62，

所以KG1= ，從而.

設則.

因為，所以.

在中，由正弦定理可得，解得.

因為，所以.

于是.

記EN與水面的交點為P2，過 P2作P2Q2⊥EG，Q2為垂足，則 P2Q2⊥平面 EFGH，故P2Q2=12，從而 EP2=.

答:玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm.

(如果將“沒入水中部分冶理解為“水面以上部分冶，則結果為20cm)