Question

【題目】定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界.已知函數，.

（1）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；

（2）①當時，判斷函數的奇偶性并證明，并判斷是否有上界，并說明理由；

②若，函數在上的上界是，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)函數在上不是有界函數；(2)①奇函數，證明見解析，有上界，理由解析；②.

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件運用有界函數的定義及指數函數的有關知識求解；(2)借助題設運用函數的奇偶性及函數的單調性等有關知識求解推證.

試題解析：

（1）當時，

因為在上遞減，所以，

即在的值域為

故不存在常數，使成立

所以函數在上不是有界函數.

注：令，……再求出的值域，同樣給分.

（2）①當時，，顯然定義域為,

又

∴為奇函數.

由于，

∴，存在為上界

②，

∵，，∴在上遞減，

∴，即

，∴

∴