Question

直線x+

3

y=0繞原點按順時針方向旋轉30°所得直線與圓x²+y²-4x+1=0的位置關系是（　　）

A．直線與圓相切

B．直線與圓相交但不過圓心

C．直線與圓相離

D．直線過圓心

Answer 1

分析：根據題意求出已知直線的斜率，從而得到它的傾斜角，由此得到直線按題中的方法旋轉所得直線的斜率，進而得到旋轉所得的直線方程．求出已知圓的圓心與半徑，算出圓心到旋轉所得直線的距離，將這個距離與圓的半徑比較大小，即可得到答案．

解答：解：∵直線x+

3

y=0化成斜截式，得y=-

3

3

x，
∴直線x+

3

y=0的斜率k=-

3

3

，可得直線的傾斜角150⁰，
因此，將直線繞原點按順時針方向旋轉30°后，得到的直線傾斜角為150°-30°=120°，
∴旋轉后的直線斜率為k'=tan120°=-

3

，
可得旋轉后所得的直線方程為：y=-

3

x，即

3

x+y=0，
圓x²+y²-4x+1=0化成標準方程，得（x-2）²+y²=3，
∴圓心為（2，0），半徑r=

3

．
求得圓心到所得直線的距離d=

|2 3 |

3+1

=

3

，恰好與半徑相等．
∴旋轉后所得的直線與圓的位置關系是相切．
故選：A

點評：本題將直線繞原點旋轉，求旋轉所得的直線與圓的位置關系．著重考查了直線的基本量與基本形式、圓的標準方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．