Question

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4,且過點P(,).

(1)求橢圓C的方程;

(2)設Q(x0,y0)(x0y0≠0)為橢圓C上一點.過點Q作x軸的垂線,垂足為E.取點A(0,2),連接AE,過點A作AE的垂線交x軸于點D.點G是點D關于y軸的對稱點,作直線QG,問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點?并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) +=1 (2) 直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點，理由見解析

【解析】

解:(1)因為焦距為4,

所以a2-b2=4.

又因為橢圓C過點P(,),

所以+=1,

故a2=8,b2=4,

從而橢圓C的方程為+=1.

(2)一定有唯一的公共點.

由題意,E點坐標為(x0,0).

設D(xD,0),則=(x0,-2),=(xD,-2).

再由AD⊥AE知, ·=0,

即xDx0+8=0.

由于x0y0≠0,故xD=-.

因為點G是點D關于y軸的對稱點,所以點G（,0）.

故直線QG的斜率kQG==.

又因Q(x0,y0)在橢圓C上,

所以+2=8.①

從而kQG=-.

故直線QG的方程為

y=-（x-）.②

將②代入橢圓C方程,得

(+2)x2-16x0x+64-16=0.③

再將①代入③,化簡得

x2-2x0x+=0.

解得x=x0,y=y0,

即直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點.