Question

已知橢圓C 1：

x2

a2

+

y2

b2

=λ1（a＞b＞0，λ₁＞0）和雙曲線C 2：

x2

m2

-

y2

n2

=λ2(λ2≠0)，給出下列命題：
①對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)λ₁，曲線C₁都有相同的焦點(diǎn)；
②對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)λ₁，曲線C₁都有相同的離心率；
③對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)λ₂，曲線C₂都有相同的漸近線；
④對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)λ₂，曲線C₂都有相同的離心率．
其中正確的為（　　）

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

Answer 1

分析：通過橢圓與雙曲線的方程求出它們的焦點(diǎn)，離心率，漸近線即可得到結(jié)論．

解答：解：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)λ₁，橢圓C 1：

x2

a2

+

y2

b2

=λ1（a＞b＞0，λ₁＞0）
可知，c²=λ1a2-λ1b2，離心率的平方e²=

c2

λ1a2

=

a2-b2

a2

，
故對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)λ₁，曲線C₁不都有相同的焦點(diǎn)；曲線C₁都有相同的離心率．
對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)λ₂，雙曲線C 2：

x2

m2

-

y2

n2

=λ2(λ2≠0)，
可知曲線C₂都有相同的漸近線

x

m

=±

y

n

；
但是當(dāng)λ₂＞0時(shí)，離心率的平方e²=

c2

λ2m2

=

m2+n2

m2

，
當(dāng)λ₂＜0時(shí)，離心率的平方e²=

c2

λ2n2

=

m2+n2

n2

，
∴對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)λ₂，曲線C₂都有相同的漸近線；曲線C₂不都有相同的離心率．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．屬于基礎(chǔ)題．