Question

【題目】已知圓的圓心為原點，且與直線相切.

（1）求圓的方程；

（2）點在直線上，過點引圓的兩條切線，，切點為，，求證：直線恒過定點.

（3）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

根據題意，設圓C的半徑為r，由直線與圓的位置關系可得，即可得圓的標準方程；
設，求出的值，求出以P為圓心，PA為半徑為圓的方程，分析可得直線AB為圓C與圓P的公共弦所在的直線，聯立2個圓的方程，即可得直線AB的方程，分析可得結論；
根據題意，設，，在中，可得，由數量積的計算公式可得，結合b的范圍分析可得答案．

（1）由題知圓的半徑

∴圓的方程為

（2）設點則,

∴

∴圓的方程為：①

又圓方程為：②

由①—②得即為

∴直線方程為：

∴直線過定點

（3）設，則

∴的取值范圍是