Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點，動點到點的距離比到軸的距離大1個單位長度.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）若過點的直線與曲線交于，兩點，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2) 或.

【解析】

（1）由拋物線定義可知動點的軌跡為拋物線,根據題意可得準線方程,由準線方程可求得拋物線的方程.

（2）當斜率不存在時,帶入檢驗是否成立；當斜率存在時,設出直線方程,聯立拋物線,根據韋達定理可得.由向量數量積定義即可得關于的方程,解方程即可求得的值.

（1）根據拋物線的定義,知動點的軌跡是以為焦點,以為準線的拋物線

所以動點的軌跡方程為：

（2）①當的斜率不存在時,可知,不符合條件

②當的斜率存在且不為0時,設：,

則,聯立可得,

設,,則,.

因為向量,方向相反,所以

所以,即

所以直線的方程為或.