Question

如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點M是棱BC的中點，DM=3

2

．
（Ⅰ）求證：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求證：平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅲ）求三棱錐M-ABD的體積．

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為點O是菱形ABCD的對角線的交點，
所以O是AC的中點．又點M是棱BC的中點，
所以OM是△ABC的中位線，OM∥AB．…（2分）
因為OM?平面ABD，AB?平面ABD，
所以OM∥平面ABD．…（4分）
（Ⅱ）證明：由題意，OM=OD=3，
因為DM=3

2

，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．…（6分）
又因為菱形ABCD，所以OD⊥AC．…（7分）
因為OM∩AC=O，
所以OD⊥平面ABC，…（8分）
因為OD?平面MDO，
所以平面ABC⊥平面MDO．…（9分）
（Ⅲ）三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積．…（10分）
由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，
所以OD=3為三棱錐D-ABM的高．…（11分）
△ABM的面積為

1

2

BA×BM×sin120°=

1

2

×6×3×

3

2

=

9 3

2

，…（12分）
所求體積等于

1

3

×S△ABM×OD=

9 3

2

．…（13分）