Question

如圖，邊長為4的正方形ABCD所在平面與正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點，
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求證：PA∥平面MBD；
（3）試問：在線段AB上是否存在一點N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，試指出點N的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）連接PQ，∵PA=PD=AD=4，AQ=QD，∴PQ⊥AD，PQ=2

3

．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD．
∴V=

1

3

×42×2

3

=

32 3

3

．
（2）證明：連接AC、BD交于點O，連接OM．
則AO=OC，又PM=MC，
∴PA∥OM．
∵PA?平面BMD，OM?平面BMD，
∴PA∥平面BMD．
3）存在，N為AB中點．
證明：取AB的中點N，連接CN交BQ于點E．
由正方形ABCD可知：△ABQ≌△BCN，∴∠ABQ=∠BCN，
∵∠CNB+∠BCN=90°，∴∠ABQ+∠CNB=90°，∴BQ⊥CN．
由（1）可知：PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥CN．
又PQ∩QB=Q，∴CN⊥平面PQB，
∵CN?平面PCN，
∴平面PCN⊥平面PQB．