Question

已知一列橢圓C_n：， 0＜b_n＜1，n=1，2，…，若橢圓C_n上有一點(diǎn)P_n，使P_n到右準(zhǔn)線l_n的距離d_n是|P_nF_n|與|P_nG_n|的等差中項(xiàng)，其中F_n、G_n分別是C_n的左、右焦點(diǎn)，
（Ⅰ）試證：（n≥1）；
（Ⅱ）取，并用S_n表示△P_nF_nG_n的面積，試證：S₁＜S₂且S_n＞S_n+1（n≥3）。

Answer 1

證明：（Ⅰ）由題設(shè)及橢圓的幾何性質(zhì)有，
設(shè)，則右準(zhǔn)線方程為，
因此，由題意d_n應(yīng)滿足，
即，
即，
從而對任意。
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為及橢圓方程易知，
，
因的面積為，
從而，
令，
由，得兩根，
從而易知函數(shù)f（c）在內(nèi)是增函數(shù)，而在內(nèi)是減函數(shù)，
現(xiàn)在由題設(shè)取，
則是增數(shù)列，
又易知，
故由前已證，知S₁＜S₂，且。