Question

已知一列橢圓cn：x2+

y2

b 2 n

=1，0＜bn＜1．n=1，2…．若橢圓C_n上有一點(diǎn)P_n，使P_n到右準(zhǔn)線(xiàn)l_n的距離d_n是{p_nF_n}與{P_nG_n}的等差中項(xiàng)，其中F_n、G_n分別是C_n的左、右焦點(diǎn)．
（I）試證：bn≤

3

2

（n≥1）；
（II）取bn=

2n+3

n+2

，并用S_n表示△P_nF_nG_n的面積，試證：S₁＜S₂且S_n＞S_n+1（n≥3）．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)及橢圓的幾何性質(zhì)有2d_n={P_nF_n}+{P_nG_n}=2，故d_n=4．設(shè)Gn=

1-b2

，則右準(zhǔn)線(xiàn)方程為ln2x=

1

Gn

．由題設(shè)條件能推出

1

2

≤Gn＜1．即

1

2

≤

1- b 2 n

＜1．從而證出對(duì)任意n≥1．bn≤

3

2

（II）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x_n，y_n），由題設(shè)條件能夠推出{F_nG_n}=2G_n，△P_nF_nG_n的面積為S_n=G_n{y₄}，由此入手能夠證出S₁＜S₂，且S_n＞S_n+1（n≥3）．

解答：證明：（I）由題設(shè)及橢圓的幾何性質(zhì)有：
2d_n={P_nF_n}+{P_nG_n}=2，故d_n=1．
設(shè)Gn=

1-b2

，則右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=

1

Gn

．
因此，由題意d_n應(yīng)滿(mǎn)足

1

Gn

-1≤dn≤

1

Gn

+1．
即

1 G n -1≤1 0＜Gn＜1

，解之得：

1

2

≤Gn＜1．
即

1

2

≤

1- b 2 n

＜1．從而對(duì)任意n≥1．bn≤

3

2

．

（II）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x_n，y_n），則由d_n=1及橢圓方程易知xn=

1

Gn

-1，

y

2 n

=

b

2 n

(1-

x

2 n

)=(1-

G

2 n

)(1-(

1

Gn

-1)2)
=

1

G 2 n

(-2

G

2 n

+

G

2 n

+2Gn-1)．因{F_nG_n}=2G_n，
故△P_nF_nG_n的面積為S_n=G_n{y₄}，
從而

S

2 n

=-2

G

3 n

+

G

3 n

+2Gn-1(

1

2

＜Gn＜1)．
令f（c）=-2c³+c²+2c-1．由f′（c）=-6c²+2c+2=0．
得兩根

1± 13

6

．從而易知函數(shù)f（c）在(

1

2

，

1+ 13

6

)內(nèi)是增函數(shù)．
而在(

1+ 13

6

，1)內(nèi)是減函數(shù)．
現(xiàn)在由題設(shè)取bn=

2n+3

n+2

，
則Cn=

1- b 2 n

=

n+1

n+2

=1-

1

n+2

，Cn是增數(shù)列．
又易知C2=

3

4

＜

1+ 13

6

＜

4

5

=C3．
故由前已證，知S₁＜S₂，且S_n＞S_n+1（n≥3）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓、數(shù)列和不等式的知識(shí)，難度較大，解題時(shí)要綜合考慮，恰當(dāng)?shù)剡x取公式．