Question

設點P是圓x²+y²=4上任意一點，由點P向x軸作垂線PP₀，垂足為P_o，且

MP0

=

3

2

pp0

．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m（m≠0）與（Ⅰ）中的軌跡C交于不同的兩點A，B．
（1）若直線OA，AB，OB的斜率成等比數列，求實數m的取值范圍；
（2）若以AB為直徑的圓過曲線C與x軸正半軸的交點Q，求證：直線l過定點（Q點除外），并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）代入法：設點M（x，y），P（x₀，y₀），則由題意知P₀（x₀，0），由

MP0

=

3

2

PP0

可得點M與點P坐標間的關系式，再根據點P在圓上代入P點坐標即可得到M坐標方程，即所求軌跡方程；
（Ⅱ）（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

消掉y得x的二次方程，由題意知△＞0①，根據直線OA，AB，OB的斜率成等比數列，得kAB2=kOA•kOB，即k2=

y1y2

x1x2

，借助韋達定理可得m、k的等式，進而求得k值，代入①即可解得m的范圍；（2）依題意，

AQ

⊥

BQ

，即

AQ

•

BQ

=0，變形為x₁、x₂的式子，進而用韋達定理可得k、m的等式，據m與k的關系式消掉直線l方程y=kx+m中的m，即可求得該直線所過定點；

解答：解：（Ⅰ）設點M（x，y），P（x₀，y₀），則由題意知P₀（x₀，0）．
由

MP0

=(x0-x，-y)，

PP0

=（0，-y₀），且

MP0

=

3

2

PP0

，得（x₀-x，-y）=

3

2

（0，-y₀）．
所以

x0-x=0 -y=- 3 2 y0

，于是

x0=x y0= 2 3 y

，
又x02+y02=4，所以x2+

4

3

y2=4．
所以，點M的軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0．
所以，△=（8mk）²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，即3+4k²-m²＞0．①，且

x1+x2=- 8mk 3+4k2 x1x2= 4(m2-3) 3+4k2

，
（1）依題意，kAB2=kOA•kOB，即k2=

y1y2

x1x2

，所以k2=

kx1+m

x1

•

kx2+m

x2

．
所以x1x2k2=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
所以km（x₁+x₂）+m²=0，即km（-

8mk

3+4k2

）+m²=0．
因為m≠0，所以k（-

8k

3+4k2

）+1=0，解得k2=

3

4

．
將得k2=

3

4

代入①，得m²＜6．
所以，m的取值范圍是（-

6

，0）∪（0，

6

）．
（2）曲線

x2

4

+

y2

3

=1與x軸正半軸的交點為Q（2，0）．
依題意，

AQ

⊥

BQ

，即

AQ

•

BQ

=0．
于是（2-x₁，-y₁）•（2-x₂，-y₂）=0．
∴x1 x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，即x1 x₂-2（x₁+x₂）+4+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
∴（k²+1）•

4(m2-3)

3+4k2

+（km-2）•（-

8mk

3+4k2

）+4+m²=0，
化簡，得7m²+16mk+4k²=0．
解得，m=-2k或m=-

2k

7

，且均滿足3+4k²-m²＞0，
當m=-2k時，直線l的方程為y=k（x-2），直線過定點（2，0）（舍去）；
當m=-

2k

7

時，直線l的方程為y=k（x-

2

7

），直線過定點（

2

7

，0）．
所以，直線過定點（

2

7

，0）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡方程、直線斜率及等比數列等有關知識，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，綜合性強，難度較大．