Question

【題目】已知函數有兩個不同零點.設函數的定義域為,且的最大值記為,最小值記為．

（1）求（用表示）;

（2）當時,試問以為長度的線段能否構成一個三角形,如果不一定,進一步求出的取值范圍,使它們能構成一個三角形;

（3）求和．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）．

【解析】

（1）因為為方程的兩根,根據韋達定理可得: ，又，,即可得到答案;

（2）用求根公式求出得出 .根據三角形性質可得,只要 ,以為長度的線段就可以構成三角形;

（3）求出導函數,由已知可得時,,從而,函數在上單調遞增,這樣就可求出和.

（1） 為函數的兩個零點，

為方程的兩根，

由根與系數關系得:，又，

（2）當時,發現兩根之和大于,兩根之積小于,

兩根一正一負,又 故

用來圍成三角形的三條線段是,

,,與的大小關系無法判斷，因此不一定能構成三角形，

又 若要構成三角形,則需兩邊之和大于第三邊,且兩邊之差小于第三邊，

即 ，即，從而解得,

（3），

是方程的兩根，

由根與系數關系得:,

當時,,從而

函數在上單調遞增，

．