Question

【題目】過點任作一直線交拋物線于兩點，過兩點分別作拋物線的切線．

（Ⅰ）記的交點的軌跡為，求的方程；

（Ⅱ）設與直線交于點（異于點），且，．問是否為定值？若為定值，請求出定值．若不為定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）設切點，，交點，得切線的方程為，切線的方程為，帶入點，進而得交點的軌跡的方程是；

（Ⅱ）設點，將條件向量坐標表示可得，，代入拋物線得，結合，可得，同理得，從而得是關于的方程的兩根，由韋達定理可得解.

詳解：（Ⅰ）設切點，，交點

由題意得切線的方程為，

切線的方程為，

又因為點分別在直線上，

所以,

則直線的方程為，又因為點在直線上，

所以，即切線交點的軌跡的方程是.

（Ⅱ）設點，

，因為，

所以，

因此，，

即，，

又因為點在拋物線上，

所以

（1）

由于點在直線上，所以，

把此式代入（1）式并化簡得：（2），

同理由條件可得：（3），

由（2），（3）得是關于的方程的兩根，

由韋達定理得.即為定值.