Question

已知函數（）.
（Ⅰ）若函數在定義域內單調遞增，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）若，且關于的方程在上恰有兩個不等的實根，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）設各項為正數的數列滿足，（），求證：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

解析試題分析：（Ⅰ）求出的定義域及導函數，由函數在定義域內單調遞增知，≥0在定義域內恒成立，通過參變分離化為在定義域內恒成立，求出的最小值，即≤即為的取值范圍；（Ⅱ）先將關于的方程在[1,4]上恰有兩個不等實根轉化為方程 =在[1,4]上恰有兩個不等實根，即函數y=（x∈[1,4]）圖像與y=b恰有兩個不同的交點，利用導數通過研究函數y=（x∈[1,4]）的單調性、極值、最值及圖像，結合y=（x∈[1,4]）的圖像，找出y=（x∈[1,4]）與y=b恰有兩個交點時b的取值范圍，即為所求;（Ⅲ）利用（x≠1），將放縮為即，通過累積，求出的范圍，即為所證不等式.
試題解析：（Ⅰ）函數的定義域為，
，依題意在時恒成立，
則在時恒成立，即，
當時，取最小值-1，所以的取值范圍是  4分
（Ⅱ），由得在上有兩個不同的實根，
設
，時，，時，
，，
，得
則  8分
（Ⅲ）易證當且時，.
由已知條件，
故所以當時，