Question

【題目】已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量＝(cos B，cos C)，＝(2a＋c，b)，且⊥．

(1)求角B的大小；

(2)若b＝，求a＋c的范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）(，2]．

【解析】

（1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)；

（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式求出a+c的最大值，最后利用三角形兩邊之和大于第三邊求出a+c的范圍即可．

(1)∵＝(cos B，cos C)，＝(2a＋c，b)，且⊥．

∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0，

∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0．即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A．

∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝－．∵0＜B＜π，∴B＝．

(2)由余弦定理得

b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2-＝ (a＋c)2，

當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時取等號．∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2．

又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．即a＋c的取值范圍是(，2]．