Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側棱垂直于底面，，，分別為，的中點.

（1）證明：；

（2）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取AC中點F，連接DF，EF，可得DF∥AB，結合AB⊥AC，得DF⊥AC，然后證明EF⊥平面ABC，可得EF⊥AC，由線面垂直的判定可得AC⊥平面DEF，從而得到DE⊥AC；

（2）由（1）知，EF⊥平面ABC，EF=CC1＝1，結合D是BC的中點，求得三角形ABD的面積，然后由棱柱體積公式求解即可.

（1）取AC的中點F，連接DF，EF，因為D是BC的中點，所以DF∥AB，

因為AB⊥AC，所以DF⊥AC，

同理EF∥CC1，而CC1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC，

又AC平面ABC，所以EF⊥AC，

又DF∩EF=F，所以AC⊥平面DEF，

因為DE平面DEF，所以DE⊥AC.

（2）由（1）知，EF⊥平面ABC，EF=CC1=1，

因為D是BC的中點，

所以S△ABD=S△ABC=×2×2=1，

所以VE-ABD=S△ABD·EF=×1×1=.