Question

（本小題滿分12分）設點P的坐標為，直線l的方程為．請寫出點P到直線l的距離，并加以證明．

Answer 1

解：點P到直線l的距離公式為．   ————3分
證法1：過點P作直線l的垂線，垂足為H．若A = 0，則直線l的方程為，此時點P到直線l的距離為，而，可知結論是成立的．                                        ————5分
若，則直線PH的斜率為，方程為，與直線l的方程聯立可得

解得，
————9分
據兩點間距離公式得
．
————12分
證法2：若B = 0，則直線l的方程為，此時點P到直線l的距離為
；
若，則直線l的方程為，此時點P到直線l的距離為
；
若，，過點P作y軸的垂線，交直線l于點Q，過點P作直線l于y軸的垂線，交直線l于點Q，設直線l的傾斜角為，則．
因為，
，
所以，．綜上，．
證法３：過點P作直線l的垂線，垂足為H．則直線PH的一個方向向量對應于直線l的一個法向量，而直線l的一個法向量為，又線段PH的長為d，所以
或
設點H的坐標為，則，可得

把點H的坐標代入直線l的方程得

整理得，解得．
證法４：過點P作直線l的垂線，垂足為H．在直線l上任取一點Q，直線PH的一個方向向量為，據向量知識，向量在向量上的投影的絕對值恰好是線段PH的長，因此

因為，而點滿足，所以．因此．

略