Question

以下四個命題中正確的是（　　）

• A．若

  OP

  =

  1

  2

  OA

  +

  1

  3

  OB

  ，則P，A，B三點共線
• B．若{

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }為空間的一個基底，則{

  a

  +

  b

  ，

  b

  +

  c

  ，

  c

  +

  a

  }構成空間的另一個基底
• C．|(

  a

  ?

  b

  )

  c

  |=|

  a

  ||

  b

  ||

  c

  |
• D．△ABC為直角三角形的充要條件是

  AB

  ?

  AC

  =0

Answer 1

分析：對于A，P，A，B三點共線時，

OP

=λ

OA

+μ

OB

（λ+μ=1）；對于B，若{

a

，

b

，

c

}為空間的一個基底，則

a

，

b

，

c

不共線，故

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

不共線；對于C，設＜

a

，

b

＞=θ，則|(

a

•

b

)

c

|=|

a

||

b

||

c

||cosθ|；
對于D，

AB

•

AC

=0時，∠A為直角，故△ABC為直角三角形，反之也可以是∠B，∠C為直角．

解答：解：對于A，P，A，B三點共線時，

OP

=λ

OA

+μ

OB

（λ+μ=1），∵

OP

=

1

2

OA

+

1

3

OB

，∴P，A，B三點共線不成立，故不正確；
對于B，若{

a

，

b

，

c

}為空間的一個基底，則

a

，

b

，

c

不共線，∴

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

不共線，∴{

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

}構成空間的另一個基底，故正確；
對于C，設＜

a

，

b

＞=θ，則|(

a

•

b

)

c

|=|

a

||

b

||

c

||cosθ|，故不正確；
對于D，

AB

•

AC

=0時，∠A為直角，故△ABC為直角三角形，反之也可以是∠B，∠C為直角，故不正確
故選B．

點評：本題考查命題真假的判斷，考查向量共線的條件，考查向量的數量積，屬于中檔題．