Question

【題目】已知曲線的焦點是，、是曲線上不同兩點，且存在實數使得，曲線在點、處的兩條切線相交于點．

（1）求點的軌跡方程；

（2）點在軸上，以為直徑的圓與的另一交點恰好是的中點，當時，求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意知、、三點共線，可設直線的方程為，并設點，，將直線的方程與曲線的方程聯立，并列出韋達定理，利用導數求出曲線在點、處的切線方程，將兩切線方程聯立，求出點的坐標，即可得出點的軌跡方程；

（2）由，利用坐標運算得出，代入韋達定理解出，根據對稱性取，求出線段的中點的坐標為，由轉化為可求出點的坐標，并得出點的坐標，利用弦長公式計算出，利用點到直線的距離公式分別計算出和的高，并計算出這兩個三角形的面積，相加即可得出四邊形的面積.

（1）曲線就是拋物線，它的焦點坐標為．

存在實數使得，則、、三點共線．

當直線斜率不存在時，不符合題意；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，與聯立消去，整理得，判別式，設，，

則、就是方程的兩實根，，．

，，切線斜率，

則曲線在點處的切線方程是，即①．

同理得曲線在點處的切線方程是②．

聯立①②得，得，所以點的坐標為.

因此，點的軌跡方程為；

（2）已知，在（1）的解答的基礎上，

，，則，.

，解得，，代入中，解得，

注意到對稱性，求四邊形面積，只需取即可．

，設的中點為，則，．

已知點在以點為直徑的圓上，則，

設，由，得，即，

解得，則.

將直線的方程化為，

則點到的距離.

所以．

在（1）的解答中，聯立①②消去解得，

則兩切線交點坐標為，

時，，此時，點的坐標為．

到的距離．

所以．

又已知、在兩側，所以．