Question

【題目】已知函數的極小值為.

（1）求的單調區間；

（2）證明：（其中為自然對數的底數）.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為（2）詳見解析

【解析】

（1）先由函數的極小值為，求出，利用導數的應用，求函數單調區間即可；

（2）不等式恒成立問題，通常采用最值法，方法一,令，可以證明，方法二,要證，即證，再構造函數證明即可得解.

（1）由題得的定義域為，

，

令，解得，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（2）方法一：要證，即證，

令，則，

當時，單調遞增；

當時，，單調遞減.

所以.

由題知.

因為，

所以，即.

方法二：由（1）知.

解得，要證，即證.

當時，易知.

令，則.

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

所以，即.

令，則，

所以在區間內單調遞增，

所以，即，

所以，

則當時，

，

所以.

綜上，.