Question

【題目】對于函數，如果存在實數（，且不同時成立），使得對恒成立，則稱函數為“映像函數”.

（1）判斷函數是否是“映像函數”，如果是，請求出相應的的值，若不是，請說明理由；

（2）已知函數是定義在上的“映像函數”，且當時，.求函數（）的反函數；

（3）在（2）的條件下，試構造一個數列，使得當時，，并求時，函數的解析式，及的值域．

Answer 1

【答案】（1）是“映像函數”，；（2）；（3），值域

【解析】

（1）直接由題意列關于a，b的方程組，求解得答案；

（2）由題意可得f（0）＝f（3），f（1）＝f（7），而當x∈[0，1）時，f（x）＝2x，則x∈[3，7）時，設f（x）＝2sx+t，可得，求得s，t的值，則函數解析式可求，把x用含有y的代數式表示，把x，y互換可得y＝f（x）（x∈[3，7））的反函數；

（3）由（2）可知，構造數列{an}，滿足a1＝0，an+1＝2an+1，可得數列{an+1}是以1為首項，以2為公比的等比數列，由此求得．當x∈[an，an+1）＝[2n﹣1﹣1，2n﹣1），令，解得s＝21﹣n，t＝21﹣n﹣1，可得x∈[an，an+1）（n∈N*）時，函數y＝f（x）的解析式為f（x），并求得x∈[0，+∞）時，函數f（x）的值域為[1，2）．

（1）對于，，

若，則，

即恒成立，∴，∵不同時成立，∴，

即是“映像函數”

（2）當時，，從而，∵函數是定義在上的“映像函數”，

∴，令，則，∴

∴（），由得，，此時

∴當時，函數的反函數是；

（3）∵時，，

∴構造數列，，且，于是，

∴是以為首項，為公比的等比數列，∴，

而

∴當，即時，

對于函數，∵，令，則

∴，

∴當時，，

函數在上單調遞增，∴

而，

即函數的值域為.