Question

【題目】已知函數，（為正常數），且函數與的圖像在軸上的截距相等；

（1）求的值；

（2）若（為常數），試討論函數的奇偶性.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案不唯一，見解析

【解析】

（1）利用函數f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等，建立方程，可求a的值；

（2）利用奇偶函數的定義，確定b的值，進而可得函數的奇偶性．

（1）由題意，∵函數f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等，∴f（0）＝g（0），即|a|＝1，又a＞0，故a＝1．

（2）h（x）＝f（x）+b＝|x﹣1|+b|x+1|，其定義域為R，∴h（﹣x）＝|x+1|+b|x﹣1|．

若h（x）為偶函數，即h（x）＝h（﹣x），則有b＝1，此時h（2）＝4，h（﹣2）＝4，

故h（2）≠﹣h（﹣2），即h（x）不為奇函數；

若h（x）為奇函數，即h（x）＝﹣h（﹣x），則b＝﹣1，此時h（2）＝2，h（﹣2）＝﹣2，

故h（2）≠h（﹣2），即h（x）不為偶函數；

綜上，當且僅當b＝1時，函數h（x）為偶函數，且不為奇函數，當且僅當b＝﹣1時，函數h（x）為奇函數，且不為偶函數，當b≠±1時，函數h（x）既非奇函數又非偶函數．