Question

設f（x）定義在R且x不為零的偶函數，在區間（-∞，0）上遞增，f（xy）=f（x）+f（y），當a滿足f（2a+1）＞f（-a+1）-f（3a）-3f（1）則a的取值范圍是（　　）

• A．(

  -2- 10

  6

  ，-

  1

  2

  )
• B．(

  -2- 10

  6

  ，

  -2+ 10

  6

  )
• C．(

  -2- 10

  6

  ，

  -2+ 10

  6

  )且a≠0，-

  1

  2

• D．(-∞，

  -2- 10

  6

  )∪(

  -2+ 10

  6

  +∞)

Answer 1

分析：先根據已知條件把f（2a+1）＞f（-a+1）-f（3a）-3f（1）轉化為f[（2a+1）3a]＞f（-a+1）；進而得到f（|3a（2a+1）|）＞f（|-a+1|）再結合其單調性推出|3a（2a+1）|＜|-a+1|，平方解不等式即可求出答案．

解答：解：由f（xy）=f（x）+f（y）⇒f（1×1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0；
∴f（2a+1）＞f（-a+1）-f（3a）-3f（1）
⇒f（2a+1）+f（3a）＞f（-a+1）
⇒f[（2a+1）3a]＞f（-a+1）；①
∵f（x）定義在R且x不為零的偶函數；
∴①轉化為f（|3a（2a+1）|）＞f（|-a+1|）②
∵函數在區間（-∞，0）上遞增，
∴函數在區間（0，+∞）上遞增，
∴②轉化為|3a（2a+1）|＜|-a+1|⇒[3a（2a+1）]²＜（-a+1）²⇒[3a（2a+1）-（-a+1）][3a（2a+1）+（-a+1）]＜0⇒（6a²+2a+1）（6a²+4a-1）＜0；
∵6a²+2a+1=6（a+

1

6

）²+

5

6

＞0恒成立；
而6a²+4a-1=6（a-

-2+ 10

6

）（a+

-2- 10

6

）＜0⇒

-2- 10

6

＜a＜

-2+ 10

6

；
∵定義域內不含0，
∴2a+1≠0且1-a≠0且3a≠0；
故a≠-

1

2

且a≠0且a≠1．
∴滿足條件的a的取值范圍是：

-2- 10

6

＜a＜

-2+ 10

6

且a≠0且a≠-

1

2

．
故選：C．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用以及抽象函數的應用．解決本題的關鍵在于把f（2a+1）＞f（-a+1）-f（3a）-3f（1）轉化為f[（2a+1）3a]＞f（-a+1）．