Question

（本小題滿分12分）已知圓C:,直線L:
(1) 證明:無論取什么實數，L與圓恒交于兩點；
(2) 求直線被圓C截得的弦長最小時直線L的斜截式方程.

Answer 1

（1）見解析；（2）y=2x-5.

試題分析：(1)將L的方程整理為(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)=0
由得  ∴直線L經過定點A(3,1)
∵(3－1)+(1－2)=5<25 ∴點A在圓C的內部,故直線L與圓恒有兩個交點
(2)圓心M(1,2)，當截得弦長最小時,則L⊥AM,由k=得
L的方程為y－1=2(x－3) ，即y=2x-5.
點評：熟練求出直線系方程所過定點是解本題的關鍵。
（1）平行直線系：與Ax＋By＋C＝0平行的直線為：Ax＋By＋C₁＝0(C₁≠C)。
（2）垂直直線系：與Ax＋By＋C＝0垂直的直線為：Bx－Ay＋C₁＝0。
（3）定點直線系：若：＝0和：＝0相交，則過與交點的直線系為＋λ()＝0。