Question

【題目】如圖所示，在長方體中，已知，．

（1）求：凸多面體的體積；

（2）若為線段的中點，求點到平面的距離；

（3）若點、分別在棱、上滑動，且線段的長恒等于，線段的中點為

①試證：點必落在過線段的中點且平行于底面的平面上；

②試求點的軌跡．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）（3）①證明見解析；②點的軌跡為以點M為圓心,為半徑的圓在長方體內部的部分。

【解析】

（1）根據多面體的體積是長方體的體積與三棱錐體積的差，可得解；

（2）由點M到平面的距離即為點到平面的距離，即為點A到直線BD的距離，由三角形的等面積法可求解；

（3）①由點P到底面ABCD的距離為定值，得點P必在過的中點M，且平行于底面ABCD的平面上；

②由， ,得點的軌跡為以點M為圓心, 為半徑的圓在長方體內部的部分。

解：（1）因為多面體的體積是長方體的體積與三棱錐體積的差，

所以，

所以；

（2）因為點M到平面的距離即為點到平面的距離，即為點A到直線BD的距離，

所以過A作交于N，則由三角形的等面積法得，所以，所以，

于是點M到平面的距離為；

（3）①因為點P到底面ABCD的距離為定值，所以點P必在過的中點M，

且平行于底面ABCD的平面上；

②連接EA，由于， ,

所以點的軌跡為以點M為圓心, 為半徑的圓在長方體內部的部分。

故得解.