Question

【題目】已知直線l：和橢圓：相交于點(diǎn)，

（1）當(dāng)直線l過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程

（2）點(diǎn)在上，若，求面積的最大值：

（3）如果原點(diǎn)O到直線l的距離是，證明：為直角三角形.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）由橢圓方程得左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程可得結(jié)果；

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程可得的坐標(biāo)，可得弦長(zhǎng)，求出點(diǎn)到直線的距離。利用三角形面積公式可得面積，然后利用基本不等式可得最大值；

（3）利用原點(diǎn)O到直線l的距離是可得，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得，，求出，利用可證結(jié)論.

（1）由知，，，所以，所以，

所以左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，

所以，，所以直線l的方程為.

（2）聯(lián)立，可得或，

所以，，

所以，

又點(diǎn)到直線的距離，

所以三角形的面積

，

因?yàn)橐�求面積的最大值，所以，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

所以面積的最大值為.

（3）原點(diǎn)到直線的距離為，

所以，

聯(lián)立，消去并整理得，

由韋達(dá)定理得，，

所以，

所以

所以，所以為直角三角形.