Question

【題目】已知函數f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，||＜π），在同一周期內，當 時，f（x）取得最大值3；當 時，f（x）取得最小值﹣3．
（1）求函數f（x）的解析式和圖象的對稱中心；
（2）若 時，關于x的方程2f（x）+1﹣m=0有且僅有一個實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知A=3，

∵在同一周期內，當 時，f（x）取得最大值3；當 時，f（x）取得最小值﹣3．

∴ T=

∴ ，

∴ω=2．

又∵

得 ，

∵||＜π，

解得 ，

∴函數f（x）的解析式 ．

令 得

∴圖象的對稱中心為 ，（k∈Z）．

（2）解：由（1）知 ．

那么：方程2f（x）+1﹣m=0等價于 在 上有且僅有一個實數解

∵ ，

∴ ，

令函數y1=sinu，則u∈ ，其圖象為：

結合函數圖象有， 或

解得：m=7或 ．

實數m的取值范圍為m=7或 ．

【解析】（1）根據三角函數的性質可得A，當 時，f（x）取得最大值3；當 時，f（x）取得最小值﹣3．求解周期T，可得ω圖象過（ ，0），帶入求解，可得f（x）解析式，令ωx+=kπ，求解對稱中心．（2）將f（x）的解析式帶入化簡，求解 時，畫出f（x）的圖象，利用數形結合法，可得實數m的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了正弦函數的對稱性的相關知識點，需要掌握正弦函數的對稱性：對稱中心；對稱軸才能正確解答此題．