Question

【題目】已知數(shù)列滿(mǎn)足且，設(shè)，.

（1）求；

（2）求的通項(xiàng)公式；

（3）求.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2），；（3）.

【解析】

（1）依次代入計(jì)算，可求得；

（2）歸納出，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（3）用裂項(xiàng)相消法求和，然后求極限．

（1）∵且，

∴，即，，，

，，，

，，，

∴；

（2）由（1）歸納：，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1°n=1，n=2時(shí)，由（1）知成立，

2°假設(shè)n=k（k>1）時(shí)，結(jié)論成立，即bk=2k2，

則n=k+1時(shí)，ak=bk-k=2k2-k，，

ak+1=(2k+1)(k+1)，

∴bk+1=ak+1+(k+1)=(2k+1)(k+1)+(k+1)=2(k+1)2，

∴n=k+1時(shí)結(jié)論成立，

∴對(duì)所有正整數(shù)n，bn=2n2．

（3）由（2）知n2時(shí)，，

∴

，

．