Question

【題目】已知拋物線過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．

⑴求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；

⑵為坐標(biāo)原點(diǎn).若，證明直線l必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線C的方程為，其準(zhǔn)線方程為（2）直線l必過(guò)一定點(diǎn)，詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）點(diǎn)M代入拋物線方程，可得P，即可求出拋物線方程及其準(zhǔn)線方程；

（2）直線l的方程為代入,得，利用韋達(dá)定理結(jié)合，求出b，即可證明直線l 必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)。

解：將代入，得，所以，故拋物線C的方程為，

其準(zhǔn)線方程為。

設(shè)直線l的方程為代入，得，

設(shè)，，

則，，

＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝－4，

，所以直線方程為，必過(guò)一定點(diǎn)．