Question

【題目】設f（x）是R上的任意函數，則下列敘述正確的是（ ）
A.f（x）f（﹣x）是奇函數
B.f（x）|f（﹣x）|是奇函數
C.f（x）﹣f（﹣x）是偶函數
D.f（x）+f（﹣x）是偶函數

Answer 1

【答案】D
【解析】解：A中令F（x）=f（x）f（﹣x），則F（﹣x）=f（﹣x）f（x）=F（x），

即函數F（x）=f（x）f（﹣x）為偶函數，

B中F（x）=f（x）|f（﹣x）|，F（﹣x）=f（﹣x）|f（x）|，因f（x）為任意函數，故此時F（x）與F（﹣x）的關系不能確定，即函數F（x）=f（x）|f（﹣x）|的奇偶性不確定，

C中令F（x）=f（x）﹣f（﹣x），令F（﹣x）=f（﹣x）﹣f（x）=﹣F（x），即函數F（x）=f（x）﹣f（﹣x）為奇函數，

D中F（x）=f（x）+f（﹣x），F（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=F（x），即函數F（x）=f（x）+f（﹣x）為偶函數，

所以答案是：D．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數奇偶性的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．