Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R．
①f（﹣1）=；
②若f（x）的值域是R，則a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】①﹣1；②（﹣∞，0]∪[4，+∞）
【解析】解：①函數f（x）是定義在R上的奇函數，

當x＞0時，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R，

f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1﹣a+a）=﹣1；

②若f（x）的值域是R，

由f（x）的圖象關于原點對稱，可得

當x＞0時，f（x）=x2﹣ax+a，

圖象與x軸有交點，

可得△=a2﹣4a≥0，

解得a≥4或a≤0，

即a的取值范圍是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．

所以答案是：①﹣1； ②（﹣∞，0]∪[4，+∞）．

【考點精析】掌握函數奇偶性的性質和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．