Question

（本小題滿分12分）
已知等比數列{a_n}的各項均為正數，且 2a₁ +3a₂ =1， =9a₂a₆．
(Ⅰ) 求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設 b_n=log₃a₁ +log₃a₂ +…+ log₃a_n，求的前n項和T_n；
（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，求使  ≥ (7? 2n)T_n恒成立的實數k 的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）前n 項和為?．（Ⅲ）

試題分析：(1)根據2a₁ +3a₂ =1， =9a₂a₆．可建立關于a₁和q的方程求出a₁和q的值，從而得到{a_n}的通項公式.
(2)再（1）的基礎上根據對數的運算性質可得，因而可得 =?2,顯然采用疊加求和的方法求和.
（3）可令,采用作差法求的最大值，從而求出k的范圍.
（Ⅰ）設數列的公比為(q>0)，
由 得，．
故數列的通項公式為．
（Ⅱ ）b_n =log₃a₁ +log₃a₂ +…+ log₃a_n =?
故 =?2
T_n = + + +…+
= ?2 =?  
所以數列 的前n 項和為?．
（Ⅲ ）化簡得對任意恒成立
設，則
當為單調遞減數列，
為單調遞增數列，
所以，n=5時，取得最大值為．
所以, 要使對任意恒成立，
點評：掌握等差等比數列的通項及性質以及常用數列求和的方法是求解此類問題的關鍵.