Question

【題目】已知f（ex）=ax2﹣x，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求x∈（0，1]時，f（x）的值域；
（3）設a＞0，若h（x）=[f（x）+1﹣a]logxe對任意的x1 ， x2∈[e﹣3 ， e﹣1]，總有|h（x1）﹣h（x2）|≤a+ 恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設ex=t，則x=lnt＞0，所以f（t）=a（lnt）2﹣lnt

所以f（x）=a（lnx）2﹣lnx（x＞0）

（2）解：設lnx=m（m≤0），則f（x）=g（m）=am2﹣m

當a=0時，f（x）=g（m）=﹣m，g（m）的值域為[0，+∞）

當a≠0時，

若a＞0， ，g（m）的值域為[0，+∞）

若a＜0， ，g（m）在 上單調遞增，在 上單調遞減，g（m）的值域為 ）

綜上，當a≥0時f（x）的值域為[0，+∞）

當a＜0時f（x）的值域為

（3）解：因為 對任意 總有

所以h（x）在[e﹣3，e﹣1]滿足

設lnx=s（s∈[﹣3，﹣1]），則 ，s∈[﹣3，﹣1]

當1﹣a＜0即a＞1時r（s）在區間[﹣3，﹣1]單調遞增

所以 ，即 ，所以 （舍）

當a=1時，r（s）=s﹣1，不符合題意

當0＜a＜1時，則 =a（s+ ）﹣1，s∈[﹣3，﹣1]

若 即 時，r（s）在區間[﹣3，﹣1]單調遞增

所以 ，則

若 即 時r（s）在 遞增，在 遞減

所以 ，得

若 即 時r（s）在區間[﹣3，﹣1]單調遞減

所以 ，即 ，得

綜上所述：

【解析】（1）利用換元法進行求解即可．（2）根據函數的解析式即可求函數的值域．（3）根據函數恒成立問題，建立不等式關系進行求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，以及對二次函數的性質的理解，了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．