Question

【題目】在如圖所示的五面體中，四邊形是矩形，平面平面，且, ，， ，點在上.

求證：（1）平面

（2）平面 平面

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

(1)先證明平面平面,進而由面面平行可得線面平行；

(2)利用勾股定理的逆定理證明直線,由面面垂直的性質得到平面,進而可得平面，從而可得平面 平面.

證明：（1）連結DM

∵AB∥EF，AB=EF，M是EF的中點，

∴AB∥EM且ABEM,四邊形ABEM是平行四邊形，

∴AM∥BE，又∵AM平面BCE，BE平面BCE，

∴AM∥平面BCE．∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，又BC平面BCE，AD平面BCE，∴AD∥平面BCE，

又AD平面ADM，AM平面ADM，AD∩AM=A，

∴平面ADM∥平面BCE，

又DN平面ADM，

∴DN∥平面BCE（2）由（1）知AM=BE=2，

∵AF=BE=2，MF=EF=

∴AM2+AF2=MF2，∴AM⊥AF．

∵平面ADF⊥平面ABEF，平面ADF∩平面ABEF=AF，AM平面ABEF，

∴AM⊥平面DAF，∵DA平面DAF，

∴AM⊥DA，

又∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，

∵AB平面ABEF，AM平面ABEF，AB∩AM=A，

∴AD⊥平面ABEF，又AD平面ABCD，

∴平面ABEF⊥平面ABCD