Question

【題目】已知函數(shù) （x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）①判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；②用定義判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）解不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

又2x＞0，∴﹣1＜y＜1

∴函數(shù)f（x）的值域為（﹣1，1）

（2）解：明：①∵ ，

∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)

② =

在定義域中任取兩個實數(shù)x1，x2，且x1＜x2，

則

∵x1＜x2，∴0＜ ，

從而f（x1）﹣f（x2）＜0

∴函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)

（3）解：由（2）得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，在R上為單調(diào)增函數(shù)

∴f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0即f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2），

∴f（1﹣m）＜f（m2﹣1），1﹣m＜m2﹣1

∴原不等式的解集為（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）

【解析】（1）先由原函數(shù)式反解出2x ， 再利用2x的取值范圍建立關(guān)于y的不等關(guān)系，解不等式即可；（2）分別利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義求解即可，對于奇偶性的判斷，只須考慮f（﹣x）與f（x）的關(guān)系即得；對于單調(diào)性的證明，先在定義域中任取兩個實數(shù)x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 再比較f（x1）﹣f（x2）即可；（3）先依據(jù)函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)性化掉符號：“f”，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的整式不等式，再利用一元二次不等式的解法即可求得m的取值范圍．
【考點精析】利用函數(shù)的值域和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集．