Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）設函數g（x）=f（x）﹣1，求函數g（x）的零點；
（2）若函數f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且0＜x1＜x2＜x3＜x4≤10，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當0＜x≤2時，由|log2x|=1解得x=2或 ；

當2＜x≤10時，由 解得x=10，

∴函數g（x）有3個零點，分別為x=2， ．

（2）解：設f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4）=a，由題意可知函數f（x）的圖象與直線y=a交于四個不同的點．

在同一坐標系內作出兩個函數的圖象：

結合圖象，由題意可知，x3+x4=12；

由|log2x1|=|log2x2|知，﹣log2x1=log2x2，即x1x2=1．

若函數f（x）的圖象與直線y=a圖象始終有四個交點，則2＜x3＜4．

故

因2＜x3＜4，所以， ．

所以， 的取值范圍為（9，21）

【解析】（1）分類討論，當0＜x≤2時，由|log2x|=1；當2＜x≤10時，由 ，即可求函數g（x）的零點；（2）畫出函數f（x）的圖象，確定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10，由此可得則 的取值范圍．