Question

設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且atanB=

20

3

，bsinA=4．
（Ⅰ）求cosB和邊長a；
（Ⅱ）若△ABC的面積S=10，求cos4C的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由正弦定理求出asinB的值，然后利用弦切互化關系結合已知條件即可求出cosB，再由cosB求得sinB、tanB，則求得a；
（Ⅱ）先由三角形面積公式求出c，則可得A=C，再利用余弦定理把cos4C用A+C的三角函數表示，進而用B的三角函數表示，則問題解決．

解答：解：（Ⅰ）因為

a

sinA

=

b

sinB

，所以asinB=bsinA=4，
又atanB=

20

3

，即

asinB

cosB

= 

20

3

，
所以cosB=

3

5

；
則sinB=

4

5

，tanB=

4

3

，
所以a=

20

3

×

3

4

=5．
（Ⅱ）由S=

1

2

acsinB=

1

2

×4c=10，得c=5．
又a=5，所以A=C．
所以cos4C=2cos²2C-1
=2cos²（A+C）-1
=2cos²B-1
=2×(

3

5

)2-1
=-

7

25

．

點評：本題主要考查正弦定理、弦切互化關系及余弦的倍角公式．