Question

已知f（x）=

3

2

sin2x-cos²-

1

2

，（x∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=

3

，f（C）=0，若

m

=（1，sinA）與

n

=（2，sinB）共線，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據兩角和與差的正弦公式化簡為y=Asin（wx+ρ）+b的形式，結合正弦函數的最值可確定函數f（x）的最小值，再由T=

2π

w

可求出其最小正周期．
（Ⅱ）將C代入到函數f（x）中．令f（C）=0根據C的范圍求出C的值，再由

m

與

n

共線得到關系式

1

2

=

sinA

sinB

，從而根據正弦定理可得到a，b的關系

a

b

=

1

2

，最后結合余弦定理得到3=a²+b²-ab，即可求出a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1
則f（x）的最小值是-2，最小正周期是T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，則sin（2C-

π

6

）=1，
∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11

6

π，
∴2C-

π

6

=

π

2

，C=

π

3

，
∵

m

=（1，sinA）與

n

=（2，sinB）共線
∴

1

2

=

sinA

sinB

，
由正弦定理得，

a

b

=

1

2

①
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcos

π

3

，即3=a²+b²-ab②
由①②解得a=1，b=2．

點評：本題主要考查兩角和與差的正弦公式、向量的共線問題、正弦定理與余弦定理的應用．三角函數與向量的綜合題是高考的熱點問題，要強化復習．