Question

【題目】已知函數f（x）＝，其中a為常數．

（1）當a＝1時，求f（x）的最大值；

（2）若f（x）在區間(0，e]上的最大值為－2，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）利用導數分析單調性，進而求最值；

（2）利用分類討論，時函數f（x）的單調性與此時的最大值，并由已知構建方程求得參數即可.

（1）易知f（x）的定義域為(0，＋∞)，當a＝1時，f（x）＝－x＋ln x，f′（x）＝－1＋＝，

令f′（x）＝0，得x＝1．當0<x<1時，f′（x）>0；當x>1時，f′（x）<0．

∴f（x）在(0，1)上是增函數，在(1，＋∞)上是減函數．

∴f（x）max＝f（1）＝－1．

∴當a＝－1時，函數f（x）在(0，＋∞)上的最大值為－1．

（2）f′（x）＝－a，x∈(0，e]，∈．

①若，則f′（x）≥0，從而f（x）在(0，e]上是增函數，

∴f（x）max＝f（e）＝≥0，不合題意．

②若，令f′（x）>0得－a >0，結合x∈(0，e]，解得0<x<；

令f′（x）<0得－a <0，結合x∈(0，e]，解得<x≤e．

從而f（x）在上為增函數，在上為減函數，

∴f（x）max＝＝－1=，

得，即a＝．

∵，∴a＝為所求．

故實數a的值為．