【題目】如圖，在直四棱柱
中，底面
為等腰梯形，
，
，
，
，
分別是
的中點.
（1）證明:直線
平面
；
（2）求直線
與面
所成角的大小；
（3）求二面角
的平面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析（2）
（3）
【解析】
（1）取
的中點
，證明
為平行四邊形，且
，再由三角形中位線證明
，最后由線面平行的判定定理證明即可；
（2）作
交
于點
，由線面垂直關系得到直線
與面
所成角為
，再根據
是正三角形求解即可；
（3）由（2）知，
平面，再證明
和
分別垂直于
，求出直線與面所成角為，再求出和的長度即可求解.
（1）在直四棱柱
中，取的中點，連接
，
，
，
因為
，
，且
，所以為平行四邊形，所以，
又因為
分別是棱
的中點，
所以
，所以，
因為
.所以
四點共面，
所以
平面
，又因為
平面，
所以直線
平面.
（2）因為，
，是棱
的中點，
所以
，為正三角形，
取的中點，則，
又因為直四棱柱中，
平面
，所以
，
所以平面，即直線與面所成角為，
所以
，即
，
所以直線與面所成角為.
（3）過在平面內作
，垂足為
，連接.
因為
面，即
，
且
與相交于點，故
且
，
則
為二面角
的平面角，
在正三角形中，
，
在
中，
，
∵
，∴
，
在
中，
，
，
所以二面角的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=log4（4x+1）+kx與g（x）=log4（a2x﹣
a），其中f（x）是偶函數．
（1）求實數k的值；
（2）求函數g（x）的定義域；
(3)若函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知下列命題：
①在線性回歸模型中，相關指數
越接近于1，表示回歸效果越好；
②兩個變量相關性越強，則相關系數r就越接近于1；
③在回歸直線方程
中，當解釋變量
每增加一個單位時，預報變量
平均減少0.5個單位；
④兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好.
⑤回歸直線
恒過樣本點的中心
，且至少過一個樣本點；
⑥若
的觀測值滿足≥6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病；
⑦從統計量中得知有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推斷出現錯誤． 其中正確命題的序號是__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月（30天）的快遞件數記錄結果中隨機抽取10天的數據，制表如圖：
每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費情況如下：甲公司規定每件4.5元；乙公司規定每天35件以內（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.
（1）根據表中數據寫出甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數的平均數和眾數；
（2）為了解乙公司員工B的每天所得勞務費的情況，從這10天中隨機抽取1天，他所得的勞務費記為X（單位：元），求X的分布列和數學期望；
（3）根據表中數據估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務費.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某機構對某市工薪階層的收入情況與超前消費行為進行調查，隨機抽查了200人，將他們的月收入（單位：百元）頻數分布及超前消費的認同人數整理得到如下表格：
月收入（百元） |
|
|
|
|
|
|
頻數 | 20 | 40 | 60 | 40 | 20 | 20 |
認同超前消費的人數 | 8 | 16 | 28 | 21 | 13 | 16 |
（1）根據以上統計數據填寫下面
列聯表，并回答是否有99%的把握認為當月收入以8000元為分界點時，該市的工薪階層對“超前消費”的態度有差異；
月收入不低于8000元 | 月收入低于8000元 | 總計 | |
認同 | |||
不認同 | |||
總計 |
（2）若從月收入在
的被調查對象中隨機選取2人進行調查，求至少有1個人不認同“超前消費”的概率.
參考公式：
（其中
）.
附表：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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