Question

【題目】已知函數在區間上的最大值為，最小值為，記；

（1）求實數、的值；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數的范圍；

（3）對于定義在上的函數，設，，用任意的將劃分為個小區間，其中，若存在一個常數，使得恒成立，則稱函數為上的有界變差函數；

①試證明函數是在上的有界變差函數，并求出的最小值；

②寫出是在上的有界變差函數的一個充分條件，使上述結論成為其特例；（不要求證明）

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）①證明見解析，；②詳見解析

【解析】

由已知中在區間的最大值為4，最小值為1，結合函數的單調性及最值，我們易構造出關于a，b的方程組，解得a，b的值求出，對任意恒成立等價于恒成立，求實數k的范圍（3）根據有界變差函數的定義，我們先將區間進行劃分，進而判斷成立，進而得到結論

函數，

，對稱軸，

在區間上是增函數，

又函數故在區間上的最大值為4，最小值為1，

，

解得：，．

故實數a的值為1，b的值為0．

由可知，

，

，

對任意恒成立，

令

根據二次函數的圖象及性質可得

則恒成立，即：

令，

則有：，

解得：，

即，

得：

故得實數k的范圍為．

（3）①函數為上的有界變差函數．

因為函數為上的單調遞增函數，且對任意劃分T：，

有，

所以

恒成立，

所以存在常數M，使得是恒成立．

M的最小值為4，即.

②是在上的有界變差函數的一個充分條件：在上單調遞增且.