Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，圓與軸正、負(fù)半軸分別交于點(diǎn).橢圓以為短軸，且離心率為.

（1）求的方程；

（2）過點(diǎn)的直線分別與圓，曲線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)）.直線分別與軸交于點(diǎn).若，求的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)橢圓方程為，求得的坐標(biāo)，結(jié)合離心率公式和的關(guān)系，可得，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程求得的坐標(biāo)，由兩直線垂直的條件，可得直線的方程，求得的坐標(biāo)，再由，可得，運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得，進(jìn)而得到所求直線的方程．

解：（1）設(shè)橢圓方程為，

圓與軸正、負(fù)半軸分別交于點(diǎn)，，

由題意可得，，，

解得，則橢圓方程為；

（2），，設(shè)直線，

設(shè)，可得，，

由題意可得，，

則直線的方程為，可得，

若，可得，

即為，解得，

存在直線，使得.