Question

設函數對任意實數x 、y都有，
（1）求的值；
（2）若，求、、的值；
（3）在（2）的條件下，猜想的表達式，并用數學歸納法加以證明。

Answer 1

（1）0       （2）4，9，16         （3）

試題分析：（1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0⇒f（0）=0
(2）f（1）=1， f(2)=f(1+1)=1+1+2=4  f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9  f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16  
（3）猜想f（n）=，下用數學歸納法證明之．
當n=1時，f（1）=1滿足條件
假設當n=k時成立，即f（k）=
則當n=k+1時f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=+1+2k=（k+1）
從而可得當n=k+1時滿足條件
對任意的正整數n，都有 f（n）=
點評：本題目主要考查了利用賦值法求解抽象函數的函數值，及數學歸納法在證明數學命題中的應用，及利用放縮法證明不等式等知識的綜合．