Question

【題目】已知 的內切圓切邊于點， 而是邊上的任意內點.設和的內切圓圓心分別是和.

（1）求證：∠I1DI2 =90°（即、、、四點共圓）；

（2）設、、、四點所在的圓周的半徑為， 而的內切圓半徑為，試求的取值范圍（取遍各種形狀的三角形，點取遍邊上的每一個內點）.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）如圖，聯結 、、.由平分及平 分，易 知=90 °.

故只須證明、、 、四點共圓， 而這只須證明.

設切于點，則.只須證明，

亦只須證明，即. ①

設切于點，聯結，則.

由于，故.

從而，.

所以， .

于是，，即. ②

由式①、②可知， 只須證明. ③

欲證式③， 只須證明. ④

由切線長相等得，

即式④、③確實成立.

再由式 ②可推出式 ①成立， 從而，，即、、 、四點共圓.

因此，.

（2）由（1）知、、 、四點共圓，，所以，.

顯然，、、三點共線，、、也三點共線，且

.

取的中點，則是、、 、四點所在圓周的圓心，為該圓直徑.由于 ，所以，點必在⊙的內部.從而，必不是直徑.

于是，，即.故.

若固定不變，且，當，且為的中點，則，即.

若固定不變，當且為上的定點，，

（定值），這時，.

再由幾何圖形變化的連續性可知，可取遍開區間內的所有值.

綜上可知， 的取值范圍是.